Slighean geoimeatrach agus tiugh
Fhad 'sa bha mi a' sgrìobhadh an artaigil seo, chuimhnich mi air òran fìor sheann le Jan Pietrzak, a sheinn e ron obair sgaiteach aige anns a 'chabaret Pod Egidą, a chaidh aithneachadh ann am Poblachd Sluagh na Pòlainn mar bhalbhaiche sàbhailteachd; dh'fhaodadh duine gàire a dhèanamh gu h-onarach mu na paradoxes san t-siostam. Anns an òran seo, mhol an t-ùghdar com-pàirteachadh poilitigeach sòisealach, a’ magadh air an fheadhainn a tha ag iarraidh a bhith apolitical agus a’ cuir dheth an rèidio sa phàipear-naidheachd. “Tha e nas fheàrr a dhol air ais don sgoil a’ leughadh, ”thuirt Petshak, aois XNUMX, gu h-ìoranta.
Tha mi a’ dol air ais dhan sgoil a’ leughadh. Tha mi ag ath-leughadh (chan ann airson a’ chiad uair) leabhar Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Airson beagan luchd-leughaidh, tha am facal fhèin ag ràdh rudeigin. Is e seo ainm nighean an neach-matamataig ainmeil Hindu ris an canar Bhaskara (1114-1185), leis an ainm Akaria, no an saoi a thug an tiotal air an leabhar aige air ailseabra leis an ainm sin. Thàinig Lilavati gu bhith na neach-matamataig ainmeil agus na feallsanaiche fhèin. A rèir stòran eile, is i fhèin a sgrìobh an leabhar.
Thug Szczepan Yelensky an aon tiotal don leabhar aige air matamataig (a’ chiad deasachadh, 1926). Is dòcha gum biodh e eadhon duilich an leabhar seo a ghairm mar obair matamataigeach - bha e na bu mhotha de sheata de thòimhseachain, agus gu ìre mhòr air ath-sgrìobhadh bho thùsan Frangach (cha robh dlighe-sgrìobhaidh ann san t-seagh ùr-nodha). Co-dhiù, airson grunn bhliadhnaichean b’ e an aon leabhar mòr-chòrdte Pòlach air matamataig - an dèidh sin chaidh an dàrna leabhar aig Jelensky, Sweets Pythagoras, a chur ris. Mar sin cha robh dad aig daoine òga aig an robh ùidh ann am matamataig (is e sin dìreach mar a bha mi uair) airson taghadh ...
air an làimh eile, dh'fheumadh "Lilavati" a bhith aithnichte cha mhòr le cridhe... Ah, bha amannan ann... B' e a' bhuannachd a bu mhotha a bh' aca gun robh mi... nam dheugaire an uairsin. An-diugh, bho shealladh neach-matamataig le deagh fhoghlam, bidh mi a’ coimhead air Lilavati ann an dòigh gu tur eadar-dhealaichte - is dòcha mar shreapadair air lùban na slighe gu Shpiglasova Pshelench. Chan eil aon no fear eile a 'call an seun ... Anns an stoidhle àbhaisteach aige, Shchepan Yelensky, a tha ag aideachadh na beachdan nàiseanta ris an canar na bheatha phearsanta, tha e a' sgrìobhadh anns an ro-ràdh:
Gun a bhith a 'toirt buaidh air an tuairisgeul air feartan nàiseanta, canaidh mi, eadhon an dèidh ceithir fichead bliadhna, nach eil faclan Yelensky mu matamataig air am buntainneachd a chall. Bidh matamataig a’ teagasg dhut smaoineachadh. Tha e na fhìrinn. An urrainn dhuinn do theagasg gus smaoineachadh ann an dòigh eadar-dhealaichte, nas sìmplidh agus nas bòidhche? Is dòcha gu bheil. Is e dìreach ... chan urrainn dhuinn fhathast. Bidh mi a’ mìneachadh dha na h-oileanaich agam nach eil airson matamataigs a dhèanamh gu bheil seo cuideachd na dheuchainn air an cuid fiosrachaidh. Mura h-urrainn dhut teòiridh matamataigeach fìor shìmplidh ionnsachadh, an uairsin ... is dòcha gu bheil na comasan inntinn agad nas miosa na bhiodh an dithis againn ag iarraidh ...?
Soidhnichean anns a 'ghainmhich
Agus seo a 'chiad sgeulachd ann an "Lylavati" - sgeulachd air a mhìneachadh leis an fheallsanaiche Frangach Joseph de Maistre (1753-1821).
Chaidh seòladair à long a bha air an long-bhriseadh a thilgeil le tuinn air cladach falamh, agus bha e den bheachd nach robh duine a’ fuireach ann. Gu h-obann, ann an gainmheach na h-oirthir, chunnaic e lorg air figear geoimeatrach air a tharraing air beulaibh cuideigin. Is ann an uairsin a thuig e nach robh an t-eilean na fhàsach!
A’ togail air Mestri, tha Yelensky a’ sgrìobhadh: figear geoimeatrachbhiodh e 'na bhriathra balbh air a' chomh-thuiteamas mi-fhortanach, a bha air an long-bhriseadh, ach sheall e dha le sùil gheur air tomhas agus aireamh, agus dh' innis so dha duine soillsichte. Cho mòr airson eachdraidh.
Thoir an aire gum bi seòladair ag adhbhrachadh an aon fhreagairt, mar eisimpleir, le bhith a 'tarraing na litreach K, ... agus comharran sam bith eile de làthaireachd neach. An seo tha an geoimeatraidh air leth freagarrach.
Ach, mhol an reul-eòlaiche Camille Flammarion (1847-1925) gum biodh sìobhaltachdan a’ cur fàilte air a chèile bho astar a’ cleachdadh geoimeatraidh. Chunnaic e ann an seo an aon oidhirp cheart agus comasach air conaltradh. Seallaidh sinn a leithid de thriantan Martians na Pythagorean ... freagraidh iad sinn le Thales, freagraidh sinn iad le pàtrain Vieta, bidh an cearcall aca a ’freagairt air triantan, agus mar sin thòisich càirdeas ...
Thill sgrìobhadairean leithid Jules Verne agus Stanislav Lem chun bheachd seo. Agus ann an 1972, chaidh leacan le pàtrain geoimeatrach (agus chan e a-mhàin) a chuir air bòrd an Pioneer probe, a tha fhathast a 'dol thairis air farsaingeachd an fhànais, a-nis faisg air 140 aonad reul-eòlais bhuainn (1 Is e I astar cuibheasach na Talmhainn bhon Talamh) . Sun, i.e., mu 149 millean km). Chaidh an leacag a dhealbhadh, gu ìre, leis an speuradair Frank Drake, neach-cruthachaidh an riaghailt chonnspaideach air an àireamh de shìobhaltachdan taobh a-muigh.
Tha geoimeatraidh iongantach. Tha fios againn uile air a’ bheachd choitcheann air cò às a thàinig an saidheans seo. Tha sinne (sinn daoine) dìreach air tòiseachadh a’ tomhas an fhearainn (agus nas fhaide air adhart am fearann) airson na h-adhbharan as fheumaile. Mean air mhean thàinig e gu bhith a’ dearbhadh astaran, a’ tarraing loidhnichean dìreach, a’ comharrachadh ceart-cheàrnan agus ag obrachadh a-mach meudan. Mar sin an rud gu lèir geoimeatraidh (“Tomhas na talmhainn”), mar sin a h-uile matamataig ...
Airson greiseag, ge-tà, bha an dealbh shoilleir seo de dh'eachdraidh saidheans nar sgòth. Oir nam biodh feum air matamataig airson adhbharan obrachaidh a-mhàin, cha bhiodh sinn an sàs ann a bhith a’ dearbhadh teòirimean sìmplidh. “Chì thu gum bu chòir seo a bhith fìor idir,” chanadh neach às deidh dha sgrùdadh a dhèanamh ann an grunn thriantan ceart gu bheil suim cheàrnagan an hypotenuses co-ionann ri ceàrnag an hypotenuse. Carson a leithid de fhoirmealachd?
Feumaidh pie pluma a bhith blasta, feumaidh am prògram coimpiutair obrachadh, feumaidh an inneal obrachadh. Ma chunnt mi comas a’ bharaille trithead uair agus gu bheil a h-uile càil ann an òrdugh, carson eile?
Anns an eadar-ama, thachair dha na seann Ghreugaich gun robh feum air fianais fhoirmeil a lorg.
Mar sin, tha matamataig a’ tòiseachadh le Thales (625-547 BC). Thathas den bheachd gur e Miletus a thòisich a’ faighneachd carson. Chan eil e gu leòr airson daoine sgairteil gu bheil iad air rudeigin fhaicinn, gu bheil iad cinnteach mu rudeigin. Chunnaic iad gu robh feum air dearbhadh, sreath loidsigeach de argamaidean bho bharail gu tràchdas.
Bha iad cuideachd ag iarraidh barrachd. Is dòcha gur e Thales a dh'fheuch an toiseach ri feallsanachd corporra a mhìneachadh ann an dòigh nàdarrach, gun eadar-theachd diadhaidh. Thòisich feallsanachd Eòrpach le feallsanachd nàdair - leis na tha air cùl fiosaig mar-thà (mar sin an t-ainm: metaphysics). Ach chaidh bunaitean ontology Eòrpach agus feallsanachd nàdarra a chuir sìos leis na Pythagoreans (Pythagoras, c. 580-c. 500 RC).
Stèidhich e an sgoil aige fhèin ann an Crotone ann an ceann a deas Rubha Apennine - an-diugh chanadh sinn sect ris. Tha saidheans (ann an seagh an fhacail an-dràsta), dìomhaireachd, creideamh agus fantastachd uile ceangailte gu dlùth. Thug Tòmas Mann seachad na leasanan matamataig gu h-àlainn ann an talla-spòrs Gearmailteach anns an nobhail Doctor Faustus. Air eadar-theangachadh le Maria Kuretskaya agus Witold Virpsha, tha a 'chriomag seo ag ràdh:
Anns an leabhar inntinneach aig Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Presente , lorg mi sealladh gu math inntinneach. Ann an aon de na caibideilean, tha an t-ùghdar a 'toirt iomradh air cho cudromach sa tha an sgoil Pythagorean. Bhuail tiotal a’ chaibideil mi. Tha e ag ràdh: "Innleachadh Matamataig: Na Pythagoreans".
Bidh sinn tric a’ bruidhinn air a bheil teòiridhean matamataigeach gan lorg (me fearann neo-aithnichte) no air an innleachadh (me innealan nach robh ann roimhe). Bidh cuid de luchd-matamataig cruthachail gam faicinn fhèin mar luchd-rannsachaidh, cuid eile mar innleadairean no luchd-dealbhaidh, nach eil cho tric nan cunntairean.
Ach tha ùghdar an leabhair seo a 'sgrìobhadh mu dheidhinn innleachd matamataig san fharsaingeachd.
Bho àibheiseachd gu mealladh
Às deidh a’ phàirt tòiseachaidh fhada seo, gluaisidh mi air adhart chun fhìor thoiseach. geoimeatraidhcunntas a thoirt air mar a dh’fhaodas cus earbsa ann an geoimeatraidh neach-saidheans a mhealladh. Tha Johannes Kepler aithnichte ann am fiosaigs agus reul-eòlas mar an neach a lorg na trì laghan gluasad de bhuidhnean celestial. An toiseach, bidh gach planaid ann an siostam na grèine a’ gluasad timcheall na grèine ann an orbit elliptical, leis a’ ghrian aig aon de na fòcasan aice. San dàrna h-àite, aig amannan cunbhalach bidh prìomh ghathan na planaid, air a tharraing bhon Ghrian, a’ tarraing raointean co-ionann. San treas àite, tha an co-mheas eadar ceàrnag na h-ùine de ar-a-mach planaid timcheall na grèine agus ciùb an axis leth-mhòr den orbit aice (ie, an astar cuibheasach bhon Ghrian) seasmhach airson a h-uile planaid ann an siostam na grèine.
Is dòcha gur e seo an treas lagh - bha feum air tòrr dàta agus àireamhachadh airson a stèidheachadh, a thug air Kepler leantainn air adhart a’ coimhead airson pàtrain ann an gluasad agus suidheachadh nam planaidean. Tha eachdraidh an "lorg" ùr aige gu math cuideachail. Bho sheann aois, tha sinn air a bhith a’ coimhead chan e a-mhàin polyhedra cunbhalach, ach cuideachd argamaidean a’ sealltainn nach eil ann ach còig dhiubh san fhànais. Canar polyhedron trì-thaobhach gu cunbhalach ma tha a h-aghaidhean co-ionann ri polygonan cunbhalach agus gu bheil an aon àireamh de oirean aig gach vertex. Mar eisimpleir, feumaidh gach oisean de polyhedron cunbhalach "coimhead mar an ceudna". Is e am polyhedron as ainmeil an ciùb. Tha a h-uile duine air adhbrann àbhaisteach fhaicinn.
Chan eil an tetrahedron cunbhalach cho aithnichte, agus san sgoil canar am pioramaid triantanach àbhaisteach ris. Tha e coltach ri pioramaid. Chan eil na trì polyhedra cunbhalach eile cho aithnichte. Tha octahedron air a chruthachadh nuair a cheanglas sinn meadhan oirean ciùb. Tha an dodecahedron agus icosahedron mu thràth a’ coimhead coltach ri bàlaichean. Air an dèanamh le leathar bog, bhiodh iad comhfhurtail a chladhach. Tha an argamaid nach eil polyhedra cunbhalach ann ach na còig solidan Platonach fìor mhath. An toiseach, tha sinn a’ tuigsinn ma tha am bodhaig cunbhalach, gum feum an aon àireamh (leig q) de phoileaganan cunbhalach co-ionann a thighinn còmhla aig gach vertex, biodh iad sin nan ceàrnan-p. A-nis feumaidh sinn cuimhneachadh dè an ceàrn a th 'ann am polygon cunbhalach. Mura bheil cuimhne aig cuideigin bhon sgoil, bidh sinn gad chuimhneachadh mar a lorgas tu am pàtran ceart. Ghabh sinn cuairt timcheall an oisean. Aig gach vertex tionndaidhidh sinn tron aon cheàrn a. Nuair a bhios sinn a 'dol timcheall a' pholygon agus a 'tilleadh chun an àite tòiseachaidh, tha sinn air p leithid de thionndadh a dhèanamh, agus gu h-iomlan tha sinn air tionndadh 360 ceum.
Ach tha α 180 ceum a’ cur ris a’ cheàrn a tha sinn airson a thomhas, agus mar sin tha
Tha sinn air am foirmle a lorg airson ceàrn (chanadh neach-matamataig: tomhasan ceàrn) de pholygon àbhaisteach. Feuch an dèan sinn sgrùdadh: anns an triantan p = 3, chan eil a
Mar seo. Nuair a bhios p = 4 (ceàrnagach), an uairsin
tha ìrean ceart gu leòr cuideachd.
Dè a gheibh sinn airson pentagon? Mar sin dè thachras nuair a tha q polygons ann, gach p aig a bheil na h-aon cheàrnan
ceuman a’ teàrnadh aig aon vertex? Nam biodh e air plèana, chruthaicheadh ceàrn
ceuman agus chan urrainn dha a bhith nas àirde na 360 ceum - oir an uairsin bidh na polygons a’ dol thairis air.
Ach, leis gu bheil na polygons sin a’ coinneachadh san fhànais, feumaidh an ceàrn a bhith nas lugha na an làn cheàrn.
Agus seo an neo-ionannachd bhon a tha e uile a’ leantainn:
Roinn e le 180, iomadaich an dà phàirt le p, òrdugh (p-2) (q-2) < 4. Dè a leanas? Thoir an aire gum feum p agus q a bhith nan àireamhan nàdarrach agus gu bheil p > 2 (carson? Agus dè th' ann am p?) agus cuideachd q > 2. Chan eil mòran dhòighean ann air toradh dà àireamh nàdarra a dhèanamh nas lugha na 4. Liostaichidh mi iad uile ann an clàr 1.
Cha bhith mi a’ postadh dealbhan, chì a h-uile duine na h-àireamhan sin air an eadar-lìn... Air an eadar-lìn... cha diùlt mi gluasad liriceach - is dòcha gu bheil e inntinneach dha leughadairean òga. Ann an 1970 bhruidhinn mi aig co-labhairt. Bha an cuspair duilich. Cha robh mòran ùine agam airson ullachadh, shuidh mi air an fheasgar. Chaidh am prìomh artaigil a leughadh a-mhàin na àite. Bha an t-àite comhfhurtail, le faireachdainn obrach, uill, dhùin e aig seachd. An uairsin thairg bean na bainnse (a-nis mo bhean) an artaigil gu lèir ath-sgrìobhadh dhomh: timcheall air dusan duilleag clò-bhuailte. Rinn mi leth-bhreac dheth (chan e, chan ann le peann cuibhrig, bha eadhon pinn againn), bha an òraid soirbheachail. An-diugh dh'fheuch mi ris an fhoillseachadh seo a lorg, a tha mar-thà sean. Chan eil cuimhne agam ach ainm an ùghdair... Mhair rannsachaidhean air an eadar-lìon ùine mhòr... còig mionaidean deug slàn. Bidh mi a’ smaoineachadh mu dheidhinn le smirk agus beagan aithreachas gun adhbhar.
Bidh sinn a ’dol air ais gu Deuchainnean agus geomatras. A rèir choltais, bha Plato an dùil gum biodh an còigeamh cruth cunbhalach ann leis nach robh rudeigin aonachaidh aige, a’ còmhdach an t-saoghail gu lèir. Is dòcha gur e sin as coireach gun do dh'iarr e air oileanach (Theajtet) coimhead air a son. Mar a bha e, mar a bha e, air an deach an dodecahedron a lorg. Canaidh sinn am beachd seo air pantheism Plato. Ghèill a h-uile neach-saidheans, sìos gu Newton, ris gu ìre nas motha no nas lugha. Bhon ochdamh linn deug, tha a bhuaidh air a dhol sìos gu mòr, ged nach bu chòir nàire a bhith oirnn gu bheil sinn uile a’ gèilleadh dha ann an dòigh air choireigin.
Ann am bun-bheachd Kepler mu bhith a 'togail siostam na grèine, bha a h-uile dad ceart, bha an dàta deuchainneach aig an aon àm ris an teòiridh, bha an teòiridh reusanta ciallach, glè bhrèagha ... ach gu tur meallta. Anns an ùine aige, cha robh fios ach sia planaidean: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter agus Saturn. Carson nach eil ann ach sia planaidean? dh'fhaighnich Kepler. Agus dè an riaghailteachd a bhios a’ dearbhadh an astar bhon ghrèin? Ghabh e ris gu robh a h-uile càil ceangailte, sin geoimeatraidh agus cosmogony tha dlùth-cheangailte ri chèile. Bho na sgrìobhaidhean aig na seann Ghreugaich, bha fios aige nach robh ann ach còig polyhedra cunbhalach. Chunnaic e gu robh còig beàrnan eadar na sia orbits. Mar sin is dòcha gu bheil gach aon de na h-àiteachan an-asgaidh sin a’ freagairt ri polyhedron cunbhalach?
An dèidh grunn bhliadhnaichean de amharc agus obair teòiridheach, chruthaich e an teòiridh a leanas, le cuideachadh a rinn e àireamhachadh ceart air tomhasan nan orbits, a thug e seachad anns an leabhar "Mysterium Cosmographicum", a chaidh fhoillseachadh ann an 1596: Smaoinich air raon mòr, is e an trast-thomhas aige trast-thomhas orbit Mearcair na ghluasad bliadhnail timcheall na grèine. An uairsin smaoinich gu bheil octahedron cunbhalach air a’ chruinne seo, air cruinne-cè, air icosahedron, air a-rithist cruinne-cè, air dodecahedron, air raon eile, air tetrahedron, an uairsin air cruinneag, ciùb agus, mu dheireadh, air a 'chiùb seo tha am ball air a mhìneachadh.
Cho-dhùin Kepler gur e trast-thomhas nan raointean leantainneach sin trast-thomhas orbitan planaidean eile: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, agus Saturn. Bha coltas gu robh an teòiridh gu math ceart. Gu mì-fhortanach, bha seo aig an aon àm ris an dàta deuchainneach. Agus dè an fhianais as fheàrr air ceartachd teòiridh matamataigeach na a bhith a’ conaltradh ri dàta deuchainneach no dàta amharc, gu sònraichte “air a thoirt bho neamh”? Bheir mi geàrr-chunntas air na cunntasan seo ann an Clàr 2. Mar sin dè rinn Kepler? Dh'fheuch mi agus dh'fheuch mi gus an do dh'obraich e a-mach, is e sin, nuair a bha an rèiteachadh (òrdugh nan raointean) agus an àireamhachadh a thàinig às a dhèidh aig an aon àm ris an dàta amharc. Seo figearan agus àireamhachadh Kepler an latha an-diugh:
Faodaidh neach gabhail ri ùidh ann an teòiridh agus creidsinn gu bheil tomhasan anns na speuran mearachdach, agus chan e àireamhachadh a chaidh a dhèanamh ann an sàmhchair bùth-obrach. Gu mì-fhortanach, an-diugh tha fios againn gu bheil co-dhiù naoi planaidean agus gu bheil a h-uile co-thuiteamas toraidhean - dìreach co-thuiteamas. 'S truagh. Bha e cho breagha...
