Turas a-steach gu saoghal neo-fhìor matamataig

Sgrìobh mi an artaigil seo ann an aon de na h-àrainneachdan, an dèidh òraid agus cleachdadh ann an colaiste saidheans coimpiutaireachd. Bidh mi gam dhìon fhèin an aghaidh càineadh oileanaich na sgoile seo, an eòlas, an sealladh saidheans, agus nas cudromaiche: sgilean teagaisg. Seo... chan eil duine gan teagasg.

Carson a tha mi cho dìonach? Airson adhbhar sìmplidh - tha mi aig aois nuair, is dòcha, nach eil an saoghal mun cuairt oirnn fhathast air a thuigsinn. Theagamh gu bheil mi 'gan teagasg mar a dh'fheum- adh agus a sparradh eich, agus gun a bhi 'dràibheadh ​​càr? Is dòcha gun ionnsaich mi dhaibh sgrìobhadh le peann cuibhrig? Ged a tha beachd nas fheàrr agam air neach, tha mi gam mheas fhèin “a’ leantainn”, ach…

Gu ruige o chionn ghoirid, anns an àrd-sgoil, bha iad a 'bruidhinn mu àireamhan iom-fhillte. Agus b’ ann air Diciadain seo chaidh a thàinig mi dhachaigh, sgur - cha mhòr nach eil gin de na h-oileanaich air ionnsachadh fhathast dè a th’ ann agus mar a chleachdas iad na h-àireamhan sin. Bidh cuid a’ coimhead air a h-uile matamataig mar ghèadh aig doras peantaichte. Ach chuir e iongnadh mòr orm cuideachd nuair a dh'innis iad dhomh mar a dh'ionnsaich mi. Gu sìmplidh, tha gach uair de òraid dà uair a thìde de obair-dachaigh: a’ leughadh leabhar-teacsa, ag ionnsachadh mar a dh’ fhuasglas tu duilgheadasan air cuspair sònraichte, msaa. An dèidh ullachadh san dòigh seo, bidh sinn a 'tighinn gu na h-eacarsaichean, far am bi sinn a' leasachadh a h-uile càil ... Gu toilichte, bha na h-oileanaich, a rèir coltais, den bheachd gu robh suidhe aig an òraid - mar as trice a 'coimhead a-mach air an uinneig - mar-thà a' gealltainn gun tèid eòlas a-steach don cheann.

Stad! Gu leòr de seo. Bheir mi cunntas air mo fhreagairt do cheist a fhuair mi ann an clas le com-pàirtichean bho Mhaoin Nàiseanta na Cloinne, ionad a tha a’ toirt taic do chloinn tàlantach bho air feadh na dùthcha. B’ e a’ cheist (no an àite am moladh):

— Am b’ urrainn dhut rudeigin innse dhuinn mu àireamhan neo-fhìor?

“Gu dearbh,” fhreagair mi. 

An fhìrinn mu àireamhan

“Is e caraid eile mi, is e càirdeas an co-mheas eadar àireamhan 220 agus 284,” thuirt Pythagoras. Is e a’ phuing an seo gur e 220 suim luchd-sgaraidh an àireamh 284, agus is e 284 suim luchd-sgaraidh an àireamh 220:

1+2+4+71+142 =220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Is e co-thuiteamas inntinneach eile eadar na h-àireamhan 220 agus 284 seo: is e na seachd prìomh àireamhan deug as àirde 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , agus 59.

'S e 2x220 an t-suim aca, agus 's e suim nan ceàrnagan 59x284.

A’ chiad. Chan eil bun-bheachd "fìor àireamh" ann. Tha e mar an dèidh dhut artaigil a leughadh mu ailbhean, bidh thu a 'faighneachd, "A-nis tha sinn a' dol a dh'iarraidh neo-ailbhean." Tha iomlan agus neo-iomlan, reusanta agus neo-reusanta, ach chan eil neo-fhìor. Gu sònraichte: chan eil àireamhan nach eil fìor air an ainmeachadh neo-dhligheach. Tha iomadh seòrsa de "àireamhan" ann am matamataig, agus tha iad eadar-dhealaichte bho chèile, mar - gus coimeas ainmh-eòlais a ghabhail - ailbhean agus boiteag.

San dàrna h-àite, nì sinn gnìomhachd a dh ’fhaodadh tu a bhith toirmisgte mu thràth: a’ toirt a-mach freumhaichean ceàrnagach àireamhan àicheil. Uill, gheibh matamataig seachad air na bacaidhean sin. A bheil e ciallach ge-tà? Ann am matamataig, mar ann an saidheans sam bith eile, tha co-dhiù a tha teòiridh a 'tighinn a-steach gu bràth a-steach don stòras eòlais an crochadh air ... Ma tha e gun fheum, an uairsin thig e gu crìch anns an sgudal, an uairsin ann an cuid de sgudal de eachdraidh eòlais. Às aonais na h-àireamhan air a bheil mi a 'bruidhinn aig deireadh an artaigil seo, tha e do-dhèanta matamataig a leasachadh. Ach tòisichidh sinn le cuid de rudan beaga. Dè a th’ ann an àireamhan fìor, fhios agad. Bidh iad a’ lìonadh an loidhne àireimh gu dùmhail agus gun bheàrnan. Tha fios agad cuideachd dè na h-àireamhan nàdarra a th’ ann: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - cha bhith iad uile a’ freagairt air cuimhne eadhon an fheadhainn as motha. Tha ainm brèagha orra cuideachd: nàdarra. Tha uimhir de fheartan inntinneach aca. Ciamar a tha seo a’ còrdadh riut:

1+15+42+98+123+179+206+220=3+11+46+92+129+175+210+218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Tha e nàdarra ùidh a bhith agad anns na h-àireamhan nàdarra,” thuirt Karl Lindenholm, agus chuir Leopold Kronecker (1823–1891) e gu sgiobalta: “Chruthaich Dia na h-àireamhan nàdarra - is e a h-uile càil eile obair an duine!” Tha feartan iongantach aig bloighean (ris an canar àireamhan reusanta le luchd-matamataig) cuideachd:

agus ann an co-ionannachd :

faodaidh tu, a’ tòiseachadh bhon taobh chlì, suathadh na buannachdan agus cuir comharran iomadachaidh nan àite - agus bidh an co-ionannachd fhathast fìor:

Agus mar sin air adhart.

Mar a tha fios agad, airson bloighean a/b, far a bheil a agus b nan àireamhan iomlan, agus b ≠ 0, tha iad ag ràdh àireamh reusanta. Ach a-mhàin ann am Pòlainn a chanas iad sin riutha fhèin. Bidh iad a’ bruidhinn Beurla, Fraingis, Gearmailtis agus Ruisis. àireamh reusanta. Ann am Beurla: àireamhan reusanta. Àireamhan neo-riaghailteach tha e neo-chùramach, neo-chùramach. Bidh sinn cuideachd a 'bruidhinn Pòlainnis mu theòiridhean, smuaintean agus gnìomhan neo-chùramach - is e cuthach, mac-meanmnach, neo-mhìneachail a tha seo. Tha iad ag ràdh gu bheil eagal air boireannaich ro luchainn - nach eil sin cho neo-reusanta?

Sna seann làithean, bha anam aig àireamhan. Bha gach fear a 'ciallachadh rudeigin, bha gach fear a' samhlachadh rudeigin, bha gach fear a 'nochdadh pìos den cho-sheirm sin den Cruinne-cè, is e sin, ann an Greugais, an Cosmos. Tha am facal "cosmos" a 'ciallachadh gu dìreach "òrdugh, òrdugh". B’ e an fheadhainn a bu chudromaiche sia (an àireamh foirfe) agus deich, suim nan àireamhan leantainneach 1+2+3+4, air an dèanamh suas le àireamhan eile, agus tha an samhlachas air a bhith beò chun an latha an-diugh. Mar sin theagaisg Pythagoras gur e àireamhan toiseach agus tùs a h-uile càil, agus dìreach an lorg àireamhan neo-riaghailteach thionndaidh e an gluasad Pythagorean gu geoimeatraidh. Tha fios againn air an reusanachadh bhon sgoil a tha

Tha √2 na àireamh neo-chùramach

Oir saoil gu bheil : agus nach feudar a' bhloigh so a lughdachadh. Gu sònraichte, tha an dà chuid p agus q neònach. Dèanamaid ceàrnagach: 2q²=p². Chan fhaod an àireamh p a bhith neònach, oir an uairsin p² bhiodh cuideachd, agus tha taobh clì na co-ionnanachd na iomadachadh de 2. Mar sin, tha p eadhon, i.e., p = 2r, mar sin p²= 4r². Bidh sinn a 'lùghdachadh an co-aontar 2q²= 4r² by 2. Gheibh sinn q²= 2r² agus tha sinn a' faicinn gu'm feum q a bhi mar an ceudna, ni a bha sinn a' saoilsinn nach 'eil e mar sin. Bidh an contrarrachd a thig às a’ crìochnachadh an dearbhaidh - gheibhear am foirmle seo gu tric anns a h-uile leabhar matamataigeach. Is e an dearbhadh suidheachadh seo an cleas as fheàrr le na sophists.

Cha b 'urrainn dha na Pythagoreans an t-uamhas seo a thuigsinn. Feumaidh a h-uile dad a bhith air a mhìneachadh le àireamhan, agus chan eil trastain ceàrnagach, a dh'fhaodas duine sam bith a tharraing le maide thairis air a 'ghainmhich, air fad, is e sin, a ghabhas tomhas. “Bha ar creideamh dìomhain,” tha e coltach gu bheil na Pythagoreans ag ràdh. Ciamar? Tha e seòrsa de ... neo-chùramach. Dh’ fheuch an t-Aonadh ri e fhèin a shàbhaladh tro dhòighean buidheannach. Duine sam bith a tha airson a bhith beò fhoillseachadh àireamhan neo-riaghailteach, gu bhi air a pheanasachadh le bàs, agus, a reir coltais, bha a' cheud bhinn air a deanamh leis a mhaighstir fèin.

Ach " chaidh an smuain seachad gun mhilleadh." Tha an aois òir air tighinn. Rinn na Greugaich a’ chùis air na Persians (Marathon 490, Bloc 479). Chaidh deamocrasaidh a neartachadh, dh’èirich ionadan ùra de smaoineachadh feallsanachail agus sgoiltean ùra. Bha na Pythagoreans fhathast a’ strì le àireamhan neo-chùramach. Shearmonaich cuid : cha tuig sinn an diomhaireachd so ; cha'n urrainn duinn ach cnuasachadh agus iongantas a chur air Uncharted. Bha an fheadhainn mu dheireadh nas pragmatach agus cha robh spèis aca don Dìomhaireachd. Aig an àm sin, nochd dà structar inntinneil a thug air tuigse fhaighinn air àireamhan neo-reusanta. Buinidh an fhìrinn gu bheil sinn gan tuigsinn math gu leòr an-diugh do Eudoxus (XNUMXmh linn RC), agus b’ ann dìreach aig deireadh an XNUMXmh linn a thug am matamataigear Gearmailteach Richard Dedekind leasachadh ceart air teòiridh Eudoxus a rèir riatanasan teann. loidsig matamataigeach.

Meud figearan no cràdh

Am b’ urrainn dhut a bhith beò gun àireamhan? Fiù 's dè a' bheatha a bhiodh ann... Dh'fheumadh sinn a dhol dhan bhùth a cheannach brògan le maide, a bha sinn a 'tomhas fad na cas roimhe. “Bu toil leam ùbhlan, ah, seo e!” - bhiodh sinn a’ sealltainn luchd-reic sa mhargaidh. "Dè cho fada bho Modlin gu Nowy Dwur Mazowiecki"? “Gu math faisg!”

Bithear a’ cleachdadh àireamhan airson tomhas. Le an cuideachadh, bidh sinn cuideachd a’ cur an cèill mòran bhun-bheachdan eile. Mar eisimpleir, tha sgèile a’ mhapa a’ sealltainn cho mòr sa tha sgìre na dùthcha air a dhol sìos. Tha sgèile dà-ri-aon, no dìreach 2, a’ cur an cèill gu bheil rudeigin air dùblachadh ann am meud. Canaidh sinn gu matamataigeach: tha gach aon-ghnè a’ freagairt ri àireamh - a sgèile.

Задание. Rinn sinn leth-bhreac xerographic, ag àrdachadh an ìomhaigh grunn thursan. An uairsin chaidh a’ chriomag leudaichte a leudachadh a-rithist b amannan. Dè a th’ ann an sgèile meudachaidh coitcheann? Freagairt: a × b air iomadachadh le b. Feumaidh na lannan sin a bhith air an iomadachadh. Tha an àireamh “minus one”, -1, a’ freagairt ri aon chruinneas a tha sa mheadhan, ie air a cuairteachadh 180 ceum. Dè an àireamh a fhreagras ri tionndadh 90 ceum? Chan eil an leithid de àireamh ann. Tha, tha ... no an àite sin, bidh e a dh'aithghearr. A bheil thu deiseil airson tortadh moralta? Gabh misneach agus gabh freumh ceàrnagach minus aon. Tha mi ag èisteachd? Dè nach urrainn dhut? Às deidh na h-uile, thuirt mi riut a bhith treun. Tarraing a-mach e! Hey, uill, tarraing, tarraing... cuidichidh mi... An seo: -1 A-nis gu bheil e againn, feuchaidh sinn ri a chleachdadh... Gu dearbh, a-nis is urrainn dhuinn freumhan nan àireamhan àicheil uile a thoirt a-mach, airson eisimpleir.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Ge bith dè an duilgheadas inntinn a tha na lùib.” Seo na sgrìobh Girolamo Cardano ann an 1539, a’ feuchainn ri faighinn seachad air na duilgheadasan inntinn co-cheangailte ri - mar a thàinig e gu bhith air ainmeachadh a dh’ aithghearr - meudan mac-meanmnach. Bheachdaich e air na...

...Задание. Roinn 10 ann an dà phàirt, agus is e toradh 40. Tha cuimhne agam bhon phrògram roimhe gun do sgrìobh e rudeigin mar seo: Gu cinnteach do-dhèanta. Ach, dèanamaid seo: roinn 10 ann an dà phàirt co-ionnan, gach fear co-ionann ri 5. Iomadaich iad - thionndaidh e a-mach 25. Bhon 25 a thàinig às, a-nis thoir air falbh 40, ma thogras tu, agus gheibh thu -15. Seall a-nis: √-15 air a chur ris is air a thoirt air falbh à 5 a’ toirt dhut toradh 40. Seo na h-àireamhan 5-√-15 agus 5 + √-15. Chaidh dearbhadh an toraidh a dhèanamh le Cardano mar a leanas:

“Ge bith dè an doilgheas a th’ ann, iomadaich 5 + √-15 le 5-√-15. Bidh sinn a 'faighinn 25 - (-15), a tha co-ionann ri 25 + 15. Mar sin, is e an toradh 40 .... Tha e uamhasach duilich."

Uill, dè an ìre a th’ ann: (1 + √-1) (1-√-1)? Dèanamaid iomadachadh. Cuimhnich gu bheil √-1 × √-1 = -1. Sgoinneil. A-nis gnìomh nas duilghe: bho a + b√-1 gu ab√-1. Dè thachair? Gu cinnteach, mar seo: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Dè tha inntinneach mu dheidhinn seo? Mar eisimpleir, an fhìrinn gun urrainn dhuinn abairtean a thoirt a-steach nach robh sinn “aithnichte roimhe seo”. Am foirmle iomadachaidh giorraichte airson²-b² A bheil cuimhne agad air an fhoirmle airson²+b² cha robh, oir cha b'urrainn e bhi. Ann an raon àireamhan fìor, am polynomial²+b² tha e do-sheachanta. Canaidh sinn “ar" freumh ceàrnagach de “minus one” leis an litir i.²= -1. Is e prìomh àireamh “neo-fhìor” a th’ ann. Agus is e sin a tha a’ toirt cunntas air tionndadh 90 ceum de itealan. Carson? An dèidh a h-uile nì,²= -1, agus le bhith a’ cothlamadh aon cuairteachadh 90-ceum agus cuairteachadh 180-ceum eile a’ toirt cuairteachadh 45-ceum. Dè an seòrsa cuairteachadh air a bheilear a’ toirt iomradh? Gu follaiseach tionndadh XNUMX ceum. Dè tha -i a' ciallachadh? Tha e beagan nas iom-fhillte:

(-i)² = -i × (-i) = + i² = -1

Mar sin -i cuideachd a’ toirt cunntas air cuairteachadh 90 ceum, dìreach an taobh eile de chuairteachadh i. Dè am fear a tha air fhàgail agus dè am fear a tha ceart? Feumaidh tu òrdachadh a chuir air dòigh. Tha sinn a’ gabhail ris gu bheil an àireamh i a’ sònrachadh cuairteachadh anns an taobh a tha luchd-matamataig a’ meas deimhinneach: tuathal. Tha an àireamh -i a’ toirt cunntas air cuairteachadh an taobh a tha na comharran a’ gluasad.

Ach a bheil àireamhan mar i agus -i ann? A bheil! Tha sinn dìreach air an toirt beò. Tha mi ag èisteachd? Nach eil iad ann ach nar ceann? Uill dè a bhith an dùil? Tha a h-uile àireamh eile cuideachd ann dìreach nar n-inntinn. Feumaidh sinn faicinn a bheil na h-àireamhan ùr-bhreith againn beò. Nas mionaidiche, a bheil an dealbhadh loidsigeach agus am bi iad feumail airson rudeigin. Feuch an gabh thu m ’fhacal air a shon gu bheil a h-uile dad ann an òrdugh agus gu bheil na h-àireamhan ùra sin gu math cuideachail. Àireamhan mar 3+i, 5-7i, san fharsaingeachd: canar àireamhan toinnte ri a+bi. Sheall mi dhut mar a gheibh thu iad le bhith a’ snìomh an itealain. Faodar an cur a-steach ann an diofar dhòighean: mar phuingean ann am plèana, mar cuid de polynomials, mar sheòrsa de arrays àireamhach ... agus gach uair a tha iad mar an ceudna: an co-aontar x² +1=0 chan eil eileamaid ann... tha hocus pocus ann mu thràth!!!! Dèanamaid gàirdeachas agus gàirdeachas !!!

Deireadh an turais

Tha seo a’ crìochnachadh ar ciad turas timcheall dùthaich nan àireamhan meallta. De na h-àireamhan neo-thalmhaidh eile, bheir mi iomradh cuideachd air an fheadhainn aig a bheil àireamh neo-chrìochnach de dh’ àireamhan air beulaibh, agus chan ann air an cùlaibh (canar 10-adic riutha, dhuinne tha p-adic nas cudromaiche, far a bheil p na phrìomh àireamh), airson eisimpleir X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Feuch an cunnt sinn X mas e do thoil e². As? Dè ma nì sinn obrachadh a-mach ceàrnag àireamh agus àireamh neo-chrìochnach de dh’ àireamhan an dèidh sin? Uill, dèanamaid an aon rud. Tha fios againn gu bheil x² = tha.

Lorgaidh sinn àireamh eile mar seo le àireamh neo-chrìochnach de dh’ àireamhan air beulaibh a shàsaicheas an co-aontar. Beachd: tha ceàrnag àireamh a tha a’ crìochnachadh ann an sia a’ crìochnachadh ann an sia cuideachd. Tha ceàrnag àireamh a tha a' crìochnachadh ann an 76 a' crìochnachadh ann an 76 cuideachd. Tha ceàrnag àireamh a chrìochnaicheas ann an 376 cuideachd a' crìochnachadh ann an 376. Tha ceàrnag àireamh a chrìochnaicheas ann an 9376 a' crìochnachadh ann an 9376 cuideachd. XNUMX air… Tha àireamhan ann cuideachd a tha cho beag is, le bhith deimhinneach, gu bheil iad fhathast nas lugha na àireamh adhartach sam bith eile. Tha iad cho beag is gu bheil e uaireannan gu leòr an ceàrnag gus neoni fhaighinn. Tha àireamhan ann nach eil a’ coinneachadh ris a’ chumha a × b = b × a. Tha àireamhan neo-chrìochnach ann cuideachd. Cia mheud àireamh nàdarra a tha ann? Gu neo-chrìochnach mòran? Tha, ach cia mheud? Ciamar a ghabhas seo a chur an cèill mar àireamh? Freagairt: an àireamh as lugha de àireamhan gun chrìoch; tha e air a chomharrachadh le litir bhrèagha: A agus air a cur ris le clàr-amais neoni A₀ , aleph-neoni.

Tha cuideachd àireamhan ann air nach eil fios againn a th' ann... no a dh'fhaodas tu a chreidsinn no a chreidsinn mar a thogras tu. Agus a’ bruidhinn air an leithid: tha mi an dòchas gun còrd Àireamhan Unreal, Àireamhan Gnè Fantasy riut fhathast.